La recta

La recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la derecha).

Dos problemas fundamentales de la geometría analítica.

a) Primer problema fundamental. Dada una ecuación, encontrar el lugar geométrico. El lugar geométrico es el conjunto de puntos (x,y) en un plano que cumplen con una propiedad o condición geométrica. En el caso de la recta, su lugar geométrico será el conjunto de puntos que cuyo valor asignado en “x” satisfaga el valor en “y” en la ecuación que la representa. Para comprender el tema, realizaremos el siguiente ejemplo:

Graficar la función f (x) = 3x + 2         

         

Recordemos que para graficar esta función se debe colocar un intervalo que contemple números positivos y negativos para que se muestre la forma de la gráfica. En este caso:

f (x) = 3x + 2
X	Y
-4	3(-4) + 2 = -10
-3	3(-3) + 2 = -7
-2	3(-2) + 2 = -4
-1	3(-1) + 2 = -1
0	3(-0) + 2 =  2
1	3(1) + 2 =    5
2	3(2) + 2 =   8
3	3(3) + 2 = 11
4	3(4) + 2 = 14

La grafica se representa de la siguiente forma.

Por lo tanto el lugar geométrico de la función f (x) = 3x + 2 es una línea recta que parte de abajo hacia arriba, cualquier punto que se encuentre fuera de la recta trazada no corresponde al lugar geométrico de dicha función y cualquier punto que este dentro de la recta representara el lugar geométrico de la recta.

Ahora trazaremos una función parecida pero esta vez, se colocara un signo negativo al coeficiente de “x” de esta forma:

Graficar la función f (x) = -3x + 2  

Nuevamente tabularemos y graficaremos. No olvidemos operar con el signo negativo.

f (x) = -3x + 2
X	Y
-4	-3(-4) + 2 = 14
-3	-3(-3) + 2 = 11
-2	-3(-2) + 2 = 8
-1	-3(-1) + 2 = 5
0	-3(-0) + 2 =  2
1	-3(1) + 2 =    -1
2	-3(2) + 2 =   -4
3	-3(3) + 2 = -7
4	-3(4) + 2 = -10

Al graficar los puntos se obtiene una gráfica de la siguiente forma:

Observa que con el hecho de cambiar un signo en el coeficiente “x” la recta cambio su forma, pues esta vez empieza arriba y luego desciende.

La recta horizontal.

Es aquella que no forma ningún ángulo, es decir si realizamos un trazo de una recta en un plano cartesiano, entonces cualquier recta que sea paralela al eje “x” es horizontal.

Un ejemplo de esta ecuación es y=-5. Para cualquier valor asignado en “X”, “Y” tendrá un valor de 3.

 

Y=-5
X	Y
-4	-5
-3	-5
-2	-5
-1	-5
0	-5
1	-5
2	-5
3	-5
4	-5

La grafica que representa la función anterior es de la forma:

La recta vertical.

Es aquella cuya que al trazarla se obtiene una recta paralela al eje “y”

 La ecuación de esta recta se representa de la siguiente forma:

X=4      Es decir para cualquier valor en “Y” todos los valores en “X” serán 4.

                                          

X=4
X	Y
4	-4
4	-3
4	-2
4	-1
4	0
4	1
4	2
4	3
4	4

            

La gráfica se representa de la siguiente forma:

Segundo problema fundamental de la geometría analítica. Dado un lugar geométrico representarlo con una ecuación. En este caso nos enfocaremos en encontrar la ecuación que representa una recta en cualquiera de sus anteriores formas: de arriba hacia abajo, de abajo hacia arriba, de forma horizontal o de forma vertical. Para encontrar la ecuación que representa cualquiera de las rectas se deben analizar sus características.

1. Cualquier recta tiene un tipo de pendiente y además es constante. La pendiente de una recta se define como el incremento de unidades en el eje “Y” por cada unidad que se incremente en “X”. Se representa con la letra “m” Observa el siguiente ejemplo.

Se desea saber cuál es el precio unitario de un kilo de tortillas si se sabe que al comprar 5 kilos, se pagan 55 pesos y al comprar 8 kilos se pagan 88 pesos.

Podemos representar el problema de la siguiente forma:

X (kilos)	Y (Pesos)
0
1
2
3
4
5	55
6
7
8	88

En esta tabla se representan en el eje de las “X” la cantidad de kilos y en el eje de las “Y” la cantidad a pagar en pesos. Se debe completar la tabla de tal forma que el incremento en pesos sea en forma lineal.

De manera que la tabla queda de la siguiente forma:

X (kilos)	Y (Pesos)
0	0
1	11
2	22
3	33
4	44
5	55
6	66
7	77
8	88

Podemos concluir que el precio unitario por kg de tortilla es de 11 pesos, y esta misma cantidad se incrementa conforme aumenta el número de kilos, lo cual representa un incremento lineal. 

Si graficamos la tabulación tendremos la siguiente gráfica:

Como sabemos que la pendiente es el incremento en el eje “Y” por cada unidad en “X” y que en el problema anterior cada que incrementábamos una unidad en el eje “X” se incrementaron 11 en el eje “Y”, la pendiente (m) del problema anterior es: 11.


Es posible calcular la pendiente de una recta cuando se conocen dos puntos con la siguiente expresión: 
                                    

m=  (Y2-Y1)  / (X2-X1)                

 De la cual:

m= Pendiente de la recta

y2= Coordenada en “Y” del punto “A”                                                                           y1= Coordenada en “Y” del punto “B”

x2= Coordenada en “X” del punto “A”                                                                                   x1= Coordenada en “X” del punto “B”

Ejemplo:  Un auto tiene un valor inicial de 300000 pesos, al paso de 15 años su valor es de 150000 pesos. Si se devalúa cada año de manera constante ¿Cuánto pierde su valor por año? Tabular y graficar el problema: Observa que con la expresión es más fácil identificar el decremento anual del precio del automóvil:

Punto“A”		Punto “B”
X1	Y1	X2	Y2
0	300000	15	150000

m=  (Y2-Y1) / (X2-X1) ..............................Escribir la formula.

m=  (150000-300000) / (15-0)                ..............................Sustituir valores

m=  (-150000) /  (15)                              ...............................Realizar las restas


         m=  (-150000) / (15)                           

Al efectuar la división encontramos la pendiente, esto quiere decir que el auto se devaluara 10000 pesos cada año. Por lo que en la tabulación restaremos 10000 pesos en cada año trascurrido de la siguiente forma:            

X (años)	Y (Valor)
0	300000
1	290000
2	280000
3	270000
4	260000
5	250000
6	240000
7	230000
8	220000
9	210000
10	200000
11	190000
12	180000
13	170000
14	160000
15	150000

La grafica representa una línea recta pues el decremento es constante. Observa que la recta va de arriba hacia abajo:

Tipos de pendiente:

A) Positiva.(m>0) Si la recta es ascendente tendrá una pendiente positiva, si se emplea la expresión para calcular la pendiente de la recta y el resultado es positivo, su pendiente también lo será:

B) Negativa. (m<0) Si la recta es descendente tendrá una pendiente negativa, si se emplea la expresión para calcular la pendiente de la recta y el resultado es negativo, su pendiente también lo será:

C) Nula.(m=0) En este caso la recta no tiene inclinación alguna, se asemeja a una recta horizontal, si al aplicar la formula de pendiente el resultado es cero, la pendiente es nula.

D) Infinita. (no existe m) La recta tiene la mayor inclinación posible, se asemeja a una recta vertical, si al aplicar la fórmula de la pendiente y queda un resultado de la forma m=  , la pendiente será infinita.