Ecuación de la recta

La ecuación de una recta representa el modelo algebraico del conjunto de puntos representados en un plano y con una pendiente constante, esto quiere decir que la ecuación representa la expresión con la que es posible graficar una línea recta.

La ecuación de una recta en su forma general se expresa de la siguiente manera:

Ax+ By + C= 0................Forma General

Donde A,B y C son constantes cualesquiera. Existen 3 formas de calcular la ecuación de una recta:

Ecuación de la recta conocidos dos puntos: Si se conocen 2 puntos cualesquiera de una recta, será posible determinar su ecuación con la siguiente expresión:

                         

 

Ejemplo: La siguiente gráfica representa el volumen de ventas de una compañía de ropa y accesorios. En el eje “Y” se representa el número de artículos vendidos y en el eje “X” el tiempo expresado en meses, la tabulación representa el problema. Escribe la ecuación de la recta y completa la tabla.

 

X (meses)	Y (Artículos vendidos)
1	50000
2
3
4
5
6
7	300000

 La gráfica se representa de la siguiente forma:

En este problema se conocen dos puntos de la recta, los correspondientes al primer mes de ventas y al séptimo mes. Por lo que los datos son:

Ahora para completar la tabla basta con sustituir el numero de meses en “x”

Numero de mes (“X”)	Ecuación de la recta y= 41666.66x- +   8333.33
1	y= 41666.66 (1) +   8333.33 = 50000
2	y= 41666.66 (2) +   8333.33 = 91666.65
3	y= 41666.66 (3) +   8333.33 = 133333.33
4	y= 41666.66x(4) +   8333.33 = 175000
5	y= 41666.66x (5) +   8333.33 = 216666.63
6	y= 41666.66x (6) +   8333.33 = 258333.3
7	y= 41666.66x (7) +   8333.33 = 300000

Ejemplo: Un auto viaja a 80 km por hora y se frena por completo en un lapso de 8 segundos, suponiendo que tiene una desaceleración constante. ¿A qué velocidad viaja el auto a los 3 y 7 segundos?

Representamos las velocidades conocidas en la siguiente tabla:                                                                        

X tiempo	Y Velocidad (km/hr)
0	80
8	0

 

 La grafica representa la desaceleración del auto.

 A continuación encontraremos la ecuación de la recta:

Ahora determinaremos la velocidad del auto en 3 y 7 segundos sustituyendo los valores en “x” en la ecuación obtenida.

Tiempo	Ecuación de la recta y= -80x+80
3	y= -10(3)+80 = 50
7	y= -10(7)+80 = 10

Por lo que el auto viajara a 50 km/hr a los 3 segundos y a 10 km/hr a los 7 segundos.

Ecuación punto pendiente. Esta expresión se utiliza cuando se conoce la pendiente de la recta y uno de sus puntos. La expresión empleada para obtener la ecuación es:

(y-y1)=  (x-x1)

El valor de una casa se incrementa cada año en 10000 pesos, si en 30 años la casa tendrá un valor de 500000 pesos ¿Cuánto costaba al principio?

Sabemos que la pendiente de la recta es de 10000 pues es el valor que incrementa la casa cada año, además conocemos un punto de la recta por lo que los datos son:

Punto “A”          (30,500000)
X1	Y1
30	500000

                                 

La pendiente es: m= 10000

Por lo que bastara sustituir en la ecuación punto pendiente:

(y-y1)= m (x-x1)           ...............................................Escribir Fórmula

  

(y-500000)= 10000   (x-30)   ......................................Sustituir valores

(y-500000)= 10000x -300000       ...............................Multiplicar 10000 por (x-30)

y   = 10000x -300000 + 500000        ....................................Despejar a “y”

y= 10000x + 200000          ..........................................Al reducir se obtiene la ecuación.

Ahora bien para determinar el valor de la casa cuando se adquirió, basta con sustituir “0” en “x” pues cuando se acababa de comprar la casa aun no transcurría ningún año.

y= 10000(0) + 200000 

y= 200000              .......................Al adquirir la casa tenía un valor inicial de 200000 pesos.

Finalmente la gráfica del problema se representa de la siguiente forma:

  La gráfica representa el valor de la casa, a medida que incrementan los años, su valor también. Si la ecuación que la representa es y= 10000x + 200000, quiere decir que incrementa su precio 10000 pesos cada año, observa que es el valor que acompaña a “x”, ahora bien el número 200000 es el numero en donde la recta intersecta al eje de las “y” o de las ordenadas.

Ecuación ordenada al origen. Esta ecuación se emplea cuando se conoce además de la pendiente, el punto donde la recta corta al eje de las ordenadas, es decir el valor de “y” cuando “x”= 0, si se conocen estos datos se emplea la expresión:

 y=   mx + b     

De la cual:

m= pendiente de la recta.

b= ordenada al origen, valor de “y” cuando “x” = 0

Ejemplo.

El valor inicial de un terreno es de 180000 pesos, gracias a su excelente ubicación, su valor se incrementa 8000 pesos cada año. Determina el valor del terreno al pasar 20 años.

Al analizar el enunciado, sabemos que en el año 0, el valor del terreno es de 180000 pesos, por lo que el primer punto conocido será:

                                  X1    Y1

Punto “A”                    (0, 180000)

Ahora bien el valor de “y” cuando “x” = 0 es 180000, por lo que este valor será “b”. Conocemos además el valor de la pendiente, pues el terreno incrementa cada año su valor 8000 pesos, por lo que:

m= 8000

Sustituyendo en la formula punto pendiente tenemos:

y= 8000x + 180000                               La ecuación de la recta se representa de esta forma.

Para terminar el ejercicio debemos averiguar el valor del terreno al pasar 20 años, por lo que al sustituir “20” en “x” tenemos:

y= 8000(20) + 180000

y= 340000                                El terreno valdrá 340000 pesos en 20 años.